Symmetri og ornamentikk

FermatPunktet

>	a,alpha,b,beta,d,e:=-1,0,1,0,0,-sqrt(3):

>	FermatPunktet(1,1,a,alpha,b,beta,d,e,XY,G);

>

XY;

>

G;

>	p:=(c,phi)->FermatPunktet(c,phi,a,alpha,b,beta,d,e,XY,G):

>	display(seq(p(cos(Pi/41*i),sin(Pi/41*i)),i=1..38),tickmarks=[4,4],insequence=true,scaling=constrained);

Similariteter og logaritmiske spiraler

>	plt:=n->polarplot(exp(-theta/20),theta=0..n*2*Pi,numpoints=1500,thickness=2,scaling=constrained):

>

plt(20);

Sjøskjell

Punktet  ( ) på et skjell kan skrives på formen:

Parametrene er

Skjell

Smultring

>	Ld:=i->[90,90,0,0,0,25,6+i/80,(i/80)^2,0,0,0,0,0]: theta:=[-4*Pi,4*Pi]: S:=[-270,90]: Grid:=[20,40]:

>	s1:=i->SeaShell(Ld(i),Grid,theta,S,Natalina,style=wireframe,scaling=constrained,orientation=[-68,54],color=coral):

>	display(seq(s1(i),i=90..240),insequence=true,scaling=constrained,orientation=[-68,54]);

Det gyldne snitt

>	GyldneSnitt(20,s);

>

s;

Eksakt løsning

>	eq:=F(n)=F(n-2)+F(n-1):%;

>	F(n)=rsolve({eq,F(0)=1,F(1)=1},F(n)); F:=unapply(rhs(%),n):

>	F(10)=simplify(F(10));

>	L:=[seq(simplify(F(i)),i=1..50)];

>	GS:=Limit(F(n)/F(n-1),n=infinity): GS=value(GS);

Fibonacci og binomialkoeffisientene

>	f:=n->sum(binomial(n-k,k-1),k=1..n):

>	'f(n)'=f(n);

>	seq(f(n),n=1..20);

>	PascalsTrekant(6);

>	matrix(10,10,(i,j)->binomial((i-1),(j-1)));

Vekst av punkter (frøsetting på en solsikke)

På en sirkel

>	FrøPlot(12,0,5/16,style=point,symbol=box,symbolsize=16,color=red,axes=none);

>	FrøPlot(110,0,Pi-3,style=point,symbol=circle,symbolsize=16,color=red,axes=none);

Spiral

>	Vekst(200,1/2,Pi-3,P,style=point,symbol=circle,symbolsize=12,color=red,axes=none);

>	with(numtheory):

>	cf:=n->cfrac (Pi-3,n):

>	seq(cf(i),i=1..5);

>	Konv:=n->nthconver (cf(n),n):

>	seq(Konv(i),i=1..5);

Solsikke

>	p1:=FrøPlot(150,1/2,(sqrt(5)-1)/2,style=point,symbol=circle,symbolsize=18,color=red,axes=none):%;

>	p2:=FrøPlot(150,1/2,(sqrt(5)-1)/2,style=line,color=blue,axes=none):

>	display(p1,p2);

>	p3:=FrøPlot(150,1/2,13/21,style=point,symbol=circle,symbolsize=18,color=red,axes=none):%;

>	p4:=FrøPlot(150,1/2,13/21,style=line,color=blue,axes=none):

>	display(p1,p2);

Et snodig "paradoks" basert på formelen:

Snøfnugg

>	Snøfnugg(2,blue);

>	Snøfnugg(5,blue);

>	display(seq(Snøfnugg(i,blue),i=0..5),insequence=true);

Lengden av snøfnugget er gitt ved

>	eq:=s(n) = s(n-1)+s(n-1)/3, s(1)=3:%;

>	s(n)=rsolve({eq},s(n));

>	s:=unapply(rhs(%),n):

>	plot(s(n),n=1..20,`s(n)`);

Sierpinski

>	L:=[[0,0],[2,0],[1,tan(Pi/3)]]:

>	Sierpinski(L,5,t);

>	display(seq(Sierpinski(L,i,t),i=1..5),insequence=true);

>	L:=[[-1,-1,0],[0,sqrt(3)-1,0],[1,-1,0],[0,sqrt(3)/3-1,2*sqrt(15)/5]]:

>	Sierpinski(L,3,p);

>	display(seq(Sierpinski(L,i,p),i=1..5),insequence=true);

>	L:=[[0,0],[0,1],[1,0]]:

>	S:=Sierpinski(L,5,t,axes=none):%;

>	T:=transform((x,y)->[x^2*(x-1),y]):

>	display(T(S));

Mandelbrot

Flytdiagrammet indikerer beregningen som utføres for å bestemme fargen som skal assosieres med punktet i det komplekse planet svarende til det komplekse tallet . Maksimum antall iterasjoner som trengs for å bestemme om et punkt tilhører Mandelbrotsettet eller ikke er vilkårlig satt til , som kan økes for finere detaljer. Tilsvarende er "unnslipningsdistansen" satt

>	plot3d(0,-2.1..1.1,-1.6..1.6,orientation=[-90,0], grid=[150,150],style=patchnogrid,scaling=constrained,color=Mandelbrot);

Andre typer

Oppskriften

Ola  ønsker at Dolly  skal sende ham en hemmelig melding som ingen andre kan lese. Da må hun kunne RSA-kryptere  meldingen . Her er hva Ola  må gjøre:

1.   Han finner to store primtall p  og q .

2.  Han danner produktet n = pq .

3.  Han beregner  ( n ) = ( p - 1) ( q- 1) som inngår i   Euclid-algoritmen  :   d e  +  t  ( p - 1) ( q  - 1) = 1 , som gir han dekodingsnøkkelen   d   

4.  Han velger et positivt tall e  slik at største felles heltalls-divisor igcd ( e , ( n )) = 1 .

5.  Han beregner d  =   mod    ( n )

6.  Han sender den offentlige nøkkelen  med tallparet [ n , e ] til Dolly .
   Tallene   [ p , q , d , ( n )] må  holdes hemmelig . d  er den private nøkkelen (som dekoder )

7.   Ola  forteller Dolly  hvordan Maple skal brukes for å konvertere teksten i meldingen til en sekvens av positive heltall
   , , . . . ,  , som hver må være mindre enn n . Denne metoden vises i eksemplet under og kan gjøres offentlig

8.   Ola  ber Dolly  om å beregne   mod   n   og sende ham sekvensen av tallene , , . . ., . Hun behøver ikke å holde alle    hemmelig etter at de er beregnet, men hun bør holde alle  hemmelig

9.  Når Ola  får sekvensen av  fra   Dolly , beregner han   mod   n ,  som da gir sekvensen    som Dolly  sendte ham.

Og    så konverterer Ola  sekvensen  til tekst og får dermed den dekrypterte meldingen fra Dolly , som vist under.

Kodingen og dekodingen

>

restart;

Bokstaver til ascii tall og motsatt

>	Melding:="Hallo Ola.  Det du driver med av kryptering er kjempebra. Nå kan jeg faktisk sende glødene hete meldinger til deg uten at det kommer frem i offentlighetens lys. Det er kjempebra, og så har jeg også fått med meg hva kryptering er for noe rart. Love og hilsen Dolly!";

>	convert(Melding,bytes);

>	convert(%,bytes);

Kryptering og dekryptering av en melding

De følgende kommandoer danner en RSA kryptering  ved å generere to primtall p  og q , som så brukes til å danne tallene n  og  ( n ) = ( p - 1) ( q- 1) ,  satt lik   f  under.

>	N:=rand(10^19..10^20-1 )(); M:=rand(10^19..10^20 -1)();

>	p:= nextprime(N);

>	q:= nextprime(M);

Vi sjekker om tallene er primtall med isprime

>	isprime(p); isprime(q);

Offentlige nøkler  ( Public key ) er n  og e  ( innkoder ):

n  skal ved modulo-regning ( mod   n ) kutte halen av (de vanvittig store) tallene.

>

n:=p*q;

>	length(n);

>	R:=rand(10^18..10^19-1 )();

>	e:=nextprime(R);

Euclid-algoritmen  gir oss dekodingsnøkkelen d :  

>	f:=(p-1)*(q-1);

>	igcdex(e,f,'d','t');  #gir største felles nevner (må være = 1) samt d

>	d; #kan ikke være negativ

>	igcd(e,f);

>	d:=1/e mod f;

d  må holdes strengt hemmelig ( privat ) fordi den dekoder .

>

'n'=n;

>	Melding; #meldingen

>	OffentligNøkkel:=n;

>

e;

>	PrivatNøkkel:=d;

>	L1:=convert(Melding,bytes);

Eksempel på tastatur tegn og tilhørende tall

Det fins  255 tegn på tastaturet . Tar vi med et mellomrom  ( space ) blir det  256 tegn .

>	convert("a",bytes), convert("A",bytes);;

>	convert([1,97,65,255],bytes);

>	convert([256],bytes);

Nå konverterer vi meldingens   "byte" -liste L1  med base 256  til base n .

Hva betyr det?

Et mer kjent eksempel:

>	convert([12],base,10,2);

>	0*2^0+0*2^1+1*2^2+1*2^3;

>	convert([64],base,10,8);

>	0*8^0+0*8^1+1*8^2;

>	convert([64,8,9,6],base,10,8);

>	64*10^0+8*10^1+9*10^2+6*10^3=4*8^0+0*8^1+6*8^2+5*8^3+1*8^4;

>	base_n=length(n);

>

L1;

>	L2:=convert(L1,base,256,n);

>	map(length,L2);

Dollys   kodete melding  blir nå at vi anvender operatoren &^e mod n   på meldingen, dvs. på hvert element i listen L2 . Vi definerer funksjonen E  slik at   .

>	E:=x->Power(x,e) mod n;

>

'e'=e;

>	unprotect(D):

Vi gjenkaller tallkoden med

>	D:=x->Power(x,d) mod n;

>

'd'=d;

La oss sjekke kodingsfunksjonen E  og dekodingsfunksjonen D .

>	60, 'E(60)'=E(60), 'D(E(60))'=D(E(60));

Nå kodes L2 .

>	Kryptering:=map(E, L2);

Denne koden kan offentligjøres for hele verden. Dekodingen skjer via D(x) , når man har tilgang til nøkkelen d .

>	DeKryptering:=map(D,Kryptering);

Nå konverteres først  tallkoden til tall   i basen 256 .

>	DeKryptering2:=convert(DeKryptering,base,n,256);

Videre konvertering til bytes  gir Dollys   leselig tekst .

>	DeKryptering3:=convert(DeKryptering2,bytes);

>

Automatiserte prosedyrer

>

Melding:="Til alle som vanligvis ikke vinner i Lotto! Følgende Lottokupong går inn med full pott førstkommende lørdag: [[1, 5, 9, 13, 27, 28, 30], [1, 10, 14, 27, 28, 29, 33], [4, 8, 11, 16, 21, 27, 32], [7, 10, 14, 24, 25, 27, 28], [4, 5, 7, 8, 19, 24, 30], [5, 17, 19, 22, 23, 33, 34], [4, 5, 12, 13, 14, 17, 19], [5, 8, 13, 22, 26, 29, 34], [2, 3, 5, 8, 24, 28, 30], [5, 17, 18, 25, 26, 31, 33]]. Hilsen fra Norsk Tipping";

>	K:=Kryptering(Melding,n,d);

>	n;   #offentlig nøkkel

>	d;  #privat nøkkel

>	DeKryptering(K,n,d);